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By Ludwig Bieberbach

Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer publication information mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.

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Nun bleibt noch I x I = 1 zu untersuchen. Für x = 1 haben wir eine alternierende Reihe. Die absoluten Beträge ihrer Glieder nehmen ständig ab und konvergieren gegen Null. Also ist die Reihe konvergent. Für x = - 1 gilt die gleiche Überlegung. Allgemeines Beispiel: u1 + u 2 +···sei absolut konvergent. Die absoluten Beträge aller Zahlen v1 , v2 , ••• seien beschränkt (es gibt also eine Zahl M, unter der sie alle liegen). Dann ist die Reihe u 1 v1 + u 2 v2 + · · · gleichfalls absolut konvergent. Denn alle Teilsummen von u 1 + u 2 + · · · sind kleiner als die Summe der Reihe der absoluten Beträge der u, etwa U genannt.

Man kann also ein Intervall von der Länge 2e angeben, in dem fast alle s,. liegen. Das geht für jede Zahl e > 0. Ich wähle daher ein Intervall von der Länge 1, in dem fast alle s,. liegen. Alsdann wähle ich ein Intervall von der Länge}, in dem gleichfalls fast alle s,. liegen. Dieses Intervall kann unmöglich ganz außerhalb des zuerst bestimmten liegen, weil sonst jedes der Intervalle unendlich viele Zahlen der Folge enthielte, dann also außerhalb des Intervalles von der Länge l doch noch unendlich viele der Zahlen lägen; das geht nicht.

Ist aber x > 1, so sind alle Quotienten von einem gewissen an größer als 1. ':__ = lim x __ ! -+,. --+,. _ + + n größer als 1. ls 1. Darum haben wir Divergenz. Unsere Kriterien versagen völlig für den Fall x = 1. Ihn werden wir nachher besonders untersuchen . xn Die Reihe ~n --I = 1 n. X + x2 2! x•. - + . . konvergiert für alle . . t u .. = xn . Daher 1st . Un+t X pos1t1ven x. Denn h"1er 1s --- = --+1 1. n. u.. n Daraus folgt lim Un+t = 0. Also sind fast alle Quotienten z. B. · Das lehrt für jedes x die Konvergenz der Reihe.

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